Pierwsze odkrycia dotyczące chaosu można przypisać Hadamardowi, który opublikował w 1898 roku pracę dotyczącą bil poruszających się bez tarcia po powierzchni o ujemnej krzywiźnie. Hadamard pokazał, że w takich warunkach wszystkie trajektorie są niestabilne, w sensie że oddalają się od siebie wykładniczo, z dodatnim wykładnikiem Lapunowa.

Na początku XX wieku, Henri Poincaré pokazał że w problemie n-ciał istnieją orbity które są aperiodyczne, ale nie są zbieżne ani rozbieżne. Problem ten był badany w kolejnych latach przez wielu matematyków i fizyków. Efektem tych prac było pokazanie podobnego zachowania dla wielu układów, takich jak turbulentne przepływy i oscylacje w obwodach elektrycznych. Zbudowanie teorii opisującej te zjawiska wymagało jednak dopiero zastosowania symulacji komputerowych.

Pionierem teorii chaosu stał się Edward Lorenz, który w 1961 przeprowadzał numeryczne analizy zjawisk pogodowych. Symulowany przez niego układ opisywał własności ogrzewanej, prostokątnej komórki gazowej. Składał się z pięciu równań różniczkowych nieliniowych, będących ograniczoną wersją równań Naviera-Stokesa. Lorenz, chcąc uprościć obliczenia przerwane błędem sprzętowym, zamiast przeprowadzać je od początku, rozpoczął kontynuację symulacji od wyników pośrednich uzyskanych przed momentem awarii. Jak zauważył pod koniec, otrzymane wyniki w znaczny sposób odbiegały od symulacji przeprowadzonych od początku do końca. Okazało się to skutkiem zaokrąglenia wprowadzanych ręcznie wyników. Równania okazały się zaskakująco czułe na niewielką zmianę warunków początkowych.

Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.

Jeśli takie równanie opisuje zmiany jakiegoś układu w czasie, to niewielkie zaburzenie warunków początkowych powoduje rosnące wykładniczo z czasem zmiany w zachowaniu układu. Popularnie nazywane jest to efektem motyla - znikoma różnica na jakimś etapie może po dłuższym czasie urosnąć do dowolnie dużych rozmiarów. Powoduje to, że mimo że model jest deterministyczny, w dłuższej skali czasowej wydaje się zachowywać w sposób losowy.

Zachowanie takie można zaobserwować w wielu zjawiskach fizycznych, między innymi w zmianach pogody, oscylujących reakcjach chemicznych, zachowaniu niektórych obwodów elektrycznych i ruchu ciał oddziałujących grawitacyjnie.


Zachowanie układów chaotycznych
Diagram bifurkacji, pokazujący dojście do zachowania chaotycznego.

Ścisłym kryterium chaotyczności jest określenie wartości wykładników Lapunowa. Mówimy że układ jest chaotyczny, jeśli ma co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. W takim wypadku w przestrzeni fazowej blisko leżące trajektorie mogą po pewnym czasie dowolnie się od siebie oddalić. Choć dla idealnie dokładnie zadanych parametrów początkowych jesteśmy w stanie dokładnie przewidzieć zachowanie się układu, w praktyce, gdzie warunki początkowe znane są zawsze ze skończoną dokładnością, w krótkim czasie układ staje się nieprzewidywalny.

Szczególną cechą układów chaotycznych jest tzw. mieszanie topologiczne. Oznacza ono, że jeśli weźmiemy dowolny region (zbiór otwarty) w przestrzeni fazowej układu, to w miarę jego ewolucji w czasie pokryje się on częściowo z dowolnym innym wybranym regionem.

Warto nadmienić, że niektóre równania i układy liniowe posiadają także rozwiązania niestabilne. Tym samym niestabilność rozwiązań jest własnością słabszą niż chaotyczność. W przypadkach liniowych niestabilność dotyczy jednak jedynie specjalnie dobranych warunków początkowych. Układ jest uważany za chaotyczny, gdy niestabilność dotyczy prawie wszystkich warunków początkowych (formalnie, zestawy tych warunków tworzą zbiór gęsty).

Dowiedzenie że dany, konkretny układ równań jest chaotyczny dla pewnych wartości parametrów modelu jest na ogół złożonym procesem. Dlatego niewłaściwe jest nazywanie chaotycznym każdego układu przejawiającego skomplikowane zachowania. Przykładami układów mylnie nazywanych chaotycznymi są turbulencja i zachowanie giełdy. Nie udowodniono chaotyczności dla pełnego układu równań Naviera-Stokesa, a dla zachowania giełdy nie znamy nawet równań różnicowych czy różniczkowych, opisujących ją w zadowalający sposób. Tym samym nie potrafimy się wypowiedzieć o chaotyczności ich rozwiązań.

Atraktory

Niektóre układy dynamiczne są chaotyczne wszędzie, ale w większości wypadków takie zachowanie dotyczy jedynie pewnego podzbioru przestrzeni fazowej. Najbardziej interesujący przypadek zachodzi gdy chaotyczność dotyczy jakiegoś atraktora, gdyż trajektorie z całego jego obszaru przyciągania mają tę własność.

Atraktory w układach liniowych są zwykle punktami lub okręgami. W układach chaotycznych pojawiają się dziwne atraktory – o bardzo złożonej budowie, często fraktalnej. Jednym z najsłynniejszych przykładów jest trójwymiarowy atraktor Lorenza, przypominający kształtem motyla.

W celu badania własności chaosu rozwinięto wiele technik w zakresie analizy równań różniczkowych oraz wykorzystano w nowy sposób wiele istniejących narzędzi matematycznych. Na potrzeby symulacji komputerowych dla układów chaotycznych korzysta się z przekrojów Poincare, umożliwiających zmniejszenie wymiaru przestrzeni fazowej. Następnie z własności tych przekrojów wnioskuje się na temat własności pełnej przestrzeni fazowej rozwiązań.

W naszym potocznym rozumieniu chaos to coś niedobrego; coś, na co raczej nie czekamy - więcej: przeraża nas myśl o społecznym chaosie, o chaotycznie pracującej elektrowni atomowej itd. Myśląc o chaosie, myślimy wręcz o katastrofie. Chcielibyśmy mieć świat i wyobrażenie o nim uporządkowane, stałe i niezmienne. Jedni z nas widzą świat mimo wszystko uporządkowany i niezmienny, możliwy do opanowania, i to bez poszukiwania nowych środków i narzędzi, drudzy - wręcz przeciwnie: jako kłębowisko sił i energii, których potęga zdaje się przerastać nasze możliwości, lecz jednocześnie stanowi wyzwanie dla umysłu człowieka.

Lecz dzisiaj tego typu "jednoznaczne" teoria, założenia i wynikające zeń "pewniki" zostają bardzo poważnie poddane w wątpliwość. Powód? Przemożny wpływ (naturalnie nie zawsze przecież uświadamiany) Teorii Chaosu. Dzisiejsza nauka, zwana też „nową nauką”, odchodzi i przekracza dotychczasową wiedzę wraz z jej tradycyjnymi aksjomatami i porusza się po obszarach, które laikowi wydawać się muszą "paranormalne". Naukowcy też mają swe przekonania, lecz trudno je nazwać wiarą - trudno w coś wierzyć, gdy się to wie... Teoria Chaosu - która opiera się na założeniu, iż możliwe jest dokonywanie pomiarów, kontrolowanie lub odtwarzanie matematycznie nieprzewidywalnego zachowania się układów lub przebiegu zjawisk (procesy chaotyczne można zaobserwować np. w przebiegu zjawisk atmosferycznych bądź w turbulencjach ruchliwych cieczy, kiedy to ledwie dostrzegalne zakłócenia warunków początkowych powodują znaczące zmiany w końcowych stadiach ruchu; istnieje poetyczna wizja motylego skrzydła, które wprawione w ruch w Afryce wpływa na przebieg globalnych zjawisk klimatycznych) - po prostu dezaktualizuje większość naszych dotychczasowych poglądów, przekonań i tradycyjnych wiar zbudowanych na starych paradygmatach, zupełnie nieprzystawalnych jako narzędzia do dzisiejszych problemów, potrzeb, pytań i odkryć.

Dlaczego tak się dzieje? Co się stało? Otóż "odpowiedzialne" są tu pospołu: fizyka kwantowa, relatywizm nauki, zasada nieokreśloności Wernera Heisenberga (teoria mówiąca, iż obserwacja danego procesu nieuchronnie oddziałuje na ten proces, a zatem wyniki takiej obserwacji są zawsze wartościami relatywnymi, nie absolutnymi), zasada antropiczna (zespół teorii fizycznych i kosmologicznych głoszących, że obecność człowieka (gr. anthropos) we wszechświecie nie jest przypadkowa, a człowiek jako obserwator kosmosu jest czynnikiem determinującym prawdopodobieństwo w fizyce, ma on też zasadniczy wpływ na powstawanie rozmaitych zjawisk we wszechświecie, przetwarza i przekazuje informacje, co byłoby potwierdzeniem Einsteinowskiej koncepcji czasoprzestrzeni), a także wynikająca z tego wszystkiego "nowa kosmologia".
Chaos na gruncie nauk ścisłych

Teoria chaosu stała się jedną z trzech (obok Teorii Względności i Mechaniki Kwantowej) największą rewolucją w nauce XX wieku, jednak w odróżnieniu od wyżej wymienionych dotyczy ona wszystkiego (tamte odpowiednio: fizyki; fizyki, chemii, biologii). Rewolucja ta polegała na odkryciu że bardzo proste formuły matematyczne prowadzą do chaosu (wcześniej uważano że układy są skomplikowane ponieważ opisują je skomplikowane formuły matematyczne.

Dokonując analizy wyłącznie na bazie fizyki (szczególnie dynamiki) rozróżniamy trzy możliwe typy zachowań układów dynamicznych: periodyczne (włączając tu niezależne od czasu), quasiperiodyczne i chaotyczne. Zachowanie quasiperiodyczne jest złożeniem przebiegów periodycznych o niewspółmiernych częstościach.

Zachowanie chaotyczne charakteryzuje się niestabilnością (brakiem stanu równowagi, nie trwałością) rozwiązań równania ruchu ze względu na warunki początkowe. Oznacza to, że dowolnie mała zmiana stanu początkowego prowadzi po jakimś czasie do jakościowych zmian trajektorii.

Chaos w równaniach ruchu można wykryć numerycznie za pomocą tzw. wskaźników Lapunowa. Bada się mianowicie zależność od czasu różnicy dwóch trajektorii, początkowo bardzo małej. Ta różnica jest parametryzowana jako exp(at), gdzie a jest wskaźnikiem Lapunowa. Jeśli a>0, mamy do czynienia z chaosem.

Chaos nie występuje w układach, opisanych liniowymi równaniami ruchu. Na przykład rozwiązania równania dx / dt = ax nie uważamy za chaotyczne. Zwykle dyskutuje się przypadki, kiedy trajektoria jest ograniczona w przestrzeni.

Jednym z najsłynniejszych przykładów zachowania chaotycznego są rozwiązania równań Lorentza. Są to trzy nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, skonstruowane z myślą o modelowaniu zjawisk atmosferycznych (o tym później).

Przypadkiem najprostszym jest równanie iteracyjne x(n + 1) = bx(n)[1 - x(n)], które przejawia chaos dla niektórych wartości parametru b. Równanie to jest znane jako równanie logistyczne, a używane w zagadnieniach rozwoju populacji w czasie.
Popularne doświadczenia

Jak już wcześniej wspomniałem Teoria Chaosu jest wszechobecna. Śledząc wysiłki fizyków na przestrzeni lat bardzo często można się spotkać z dwoma przykładami i dwoma nazwiskami:
J. Laskar i jego wizja kosmosu rządzonego grawitacją umieszczonego w różnych skalach czasowych
E. Lorenz i próba okiełznania atmosfery i pogody zależnej od bardzo wielu czynników

Odkrycia tych obu badaczy były poprzedzone ogromną ilością pracy całej „armii” genialnych fizyków (choćby H.Poincaréego czy A. Kołomogorowa równania mechaniki nieba). Jednakże ich niepodważalnym sukcesem było udowodnienie chaotycznej natury w/w zjawisk. Dowody te były realne głównie dzięki zastosowaniu nowoczesnych metod numerycznych i bardzo szybkich komputerów. Nie znaczy to jednak, że wcześniej nie dało się tego osiągając. Po prostu złożoność obliczeniowa rosła wykładniczo stawiając przed badaczami nieprzebytą barierę czasu. Zastosowanie natomiast komputerów pozwoliło spojrzeć w dane zagadnienie z szerszego punktu widzenia. Przykładowo wyznaczenie czasu charakterystycznego dla ruchu planet zajęłoby parę pokoleń ciągłych obliczeń a maszyna zrealizowała to w bardziej realnym czasie.

Do analizy układu wykazującego charakter chaotyczny używa się specjalnie do tego zdefiniowanych pojęć. Powyżej wspomniałem o „czasie charakterystycznym”. Cóż to takiego? Układ chaotyczny jak wiemy wzmacnia odchylenia początkowe, więc czas charakterystyczny układu jest okresem po którym odchylenie to wzrasta dziesięciokrotnie. Dwie trajektoria odległe na początku o d będę po upływie czasu charakterystycznego odległe o 10d. Drugim ważnym pojęciem jest atraktor. Definiuje się go jako wyróżniony podzbiór możliwych stanów układu do którego nieuchronnie zmierza ewolucja układu. Najlepiej jednak to przestawić na przykładzie. Mając do dyspozycji wahadło, mocujemy je i puszczamy z dowolnego położenia. Wiemy, że pod wpływem sił tarcia (wahadło o powietrze oraz w zamocowaniu) zatrzyma się w końcu po jakimś trudno przewidywalnym czasie. Wiadomo również, że ten stan jest nieunikniony tj. osiągnięcie w/w stanu nie jest zdeterminowane prędkością początkową ani wartością wychylenia. Tak, więc to spoczynkowe położenie wahadła będzie dla tego układu atraktorem. W powyższym przykładzie atraktorem będzie konkretny punkt spoczynkowy jednak bardzo często spotyka się, że atraktory o skomplikowanej strukturze. Szczególną klasę stanowią atraktory dziwne. Odwołując się do trajektorii można je zdefiniować jako takie, które przyciągają trajektorie z zewnątrz a ruch w ich wnętrzu jest chaotyczny i nieprzewidywalny. Bardzo sławnym atraktorem rozbudzającym wyobraźnię naukowców od 1963r. (data publikacji) jest atraktor Lorenza. Jak już wcześniej wspomniałem zajmował on się metrologią i postępując z duchem teorii chaosu udało mu się uprościć bardzo skomplikowane równania opisujące zależności bardzo dużej liczby zmiennych. Wynikiem jego prac są (sławne już) trzy równania różniczkowe (już wspomniane). Pomimo, że bazą były badania metrologiczne same równania przez znaczne uproszczenie uzyskały pewien dystans od pierwotnych założeń. Tym nie mniej pozwoliło to zobrazować atraktor już na płaszczyźnie trzy wymiarowej.




Ruch w dziwnym atraktorze Lorenza jest chaotyczny: nie można przewidzieć, czy w kolejnym kroku trajektoria znajdzie się w jednej pętli, czy w drugiej.

Poza „dziwnymi atraktorami” występują też atraktory samopodobne. W nich natomiast kształty stają się bardzo uporządkowane i systematyczne. Doskonałymi przykładami są fraktale.

Fraktalami (łac. fractus złamany) nazywamy zbiory geometryczne, dla których wymiar jest liczbą naturalną. Przykładowo, fraktalem o wymiarze równym stosunkowi logarytmu z 2 do logarytmu z 3 jest zbiór Cantora (podzbiór odcinka o wymiarze 1), a dywan Sierpinskiego (podzbiór kwadratu) stanowi fraktal o wymiarze ln8/ln3.